A Bíblia não dá uma regra específica sobre quais pronomes usar nessa situação. Por isso, não seria correto dizer que todo cristão é obrigado a usá-los, nem que todo cristão peca ao usá-los. A pergunta exige cuidado com duas coisas que a Bíblia ensina claramente: falar com verdade e tratar as pessoas com respeito.
Em Gênesis 1:27, lemos que Deus criou os seres humanos à sua imagem, homem e mulher. Pra muitos cristãos, isso significa que ser homem ou mulher não depende apenas de como alguém se sente. Por essa razão, usar um pronome que não corresponde ao sexo da pessoa pode lhes parecer uma afirmação com a qual não conseguem concordar.
Outros cristãos entendem que um pronome, numa conversa, também pode ser uma forma de se dirigir à pessoa como ela pede, sem que isso represente concordância com tudo o que ela pensa sobre si mesma. Eles podem decidir usá-lo pra manter uma relação respeitosa e aberta. O ponto de diferença entre esses cristãos não é se a verdade importa, mas o que o uso daquele pronome comunica naquela situação.
Há algo que não deveria ficar em dúvida: a pessoa não pode ser tratada como um problema a ser vencido. Ela foi criada à imagem de Deus e merece ser ouvida e tratada com dignidade, mesmo quando existe uma discordância séria. A Bíblia orienta os cristãos a falar a verdade em amor (Efésios 4:15), a responder com respeito (1 Pedro 3:15) e, no que depender deles, a viver em paz com os outros (Romanos 12:18). Isso exclui zombaria, provocações e o uso deliberado de palavras apenas pra ferir.
Na prática, o contexto importa. Uma conversa com alguém da família, uma apresentação no trabalho e uma discussão pública não são a mesma coisa. Se um cristão entende que não pode usar determinado pronome sem contrariar sua consciência, pode explicar isso com gentileza e, quando for natural, usar o nome da pessoa. Não precisa transformar cada conversa numa discussão. Se entende que pode usar o pronome pedido como gesto de respeito, deve agir com honestidade, sem fingir que resolveu todas as questões bíblicas envolvidas.
Assim, a resposta mais cuidadosa é: não há uma regra bíblica direta sobre o uso desses pronomes, mas há mandamentos claros sobre como falar e como tratar as pessoas. Cada cristão precisa considerar o que suas palavras comunicam, agir de acordo com a consciência diante de Deus e nunca usar sua convicção como desculpa pra tratar alguém sem amor.