Não. A Bíblia não manda a esposa adotar o sobrenome do marido, nem proíbe que ela faça isso. Também não exige que ela mantenha o sobrenome que já tinha. Essa é uma decisão do casal, não uma regra bíblica.
Nos tempos bíblicos, as pessoas não costumavam usar sobrenomes como usamos hoje. Para identificar uma mulher, os relatos podiam mencionar de onde ela era, como no caso de Maria Madalena (Lucas 8:2), ou sua relação com alguém da família, como Maria, mãe de Tiago e José (Mateus 27:56). Por isso, não dá pra tirar desses exemplos uma regra sobre mudança de nome no casamento.
A Bíblia ensina algo muito importante sobre o casamento: marido e mulher se unem e passam a ser uma só carne (Gênesis 2:24; Marcos 10:8). Isso fala da união e do compromisso entre os dois. Não significa que eles precisem ter o mesmo sobrenome. Compartilhar um sobrenome pode ser uma forma bonita de expressar essa união, mas não é isso que a torna real.
Alguns casais escolhem o sobrenome do marido por tradição ou porque desejam ter um nome de família em comum. Outros preferem manter os nomes que já têm ou combinar sobrenomes. Como a Bíblia não determina uma dessas opções, o melhor é que marido e mulher conversem com respeito e decidam juntos, levando em conta suas circunstâncias.
O sobrenome pode mudar; o compromisso que Deus pede no casamento não depende dessa escolha.